NOCIONES DE IGUALDAD. EL LENGUAJE ALGEBRAICO

 

NOCIONES DE IGUALDAD: IDENTIDAD, ECUACIÓN O FÓRMULA.

EL LENGUAJE ALGEBRAICO

La noción de igualdad es algo que hay que saber apreciar. Hay muchas igualdades pero no todas son iguales. Por ejemplo, las identidades son igualdades que se cumplen para cualquier valor de las variables, mientras que en una ecuación la igualdad se cumple sólo para algunos valores de la incógnita.

Así tenemos las IDENTIDADES notables( las identidades realmente se suelen escribir no con el signo = sino con tres líneas paralelas, es como añadirle una rayita más al signo igual):

I) (a + b)² = a² + b² +2 .a.b      II) (a – b)² = a² + b² - 2 .a.b       III) (a +b).(a -b) = a² – b²

Estas identidades, que se cumplen para todos los valores de las variables a uno y otro lado de la igualdad, se leen de varias formas, lo más común es enunciarlos de la siguiente forma:

I) El cuadrado de una suma es suma de cuadrados mas doble producto del primero por el

segundo.

II) El cuadrado de una diferencia es suma de cuadrados menos doble producto de primero por el

segundo.

III) Suma por diferencia es diferencia de cuadrados.

También se pueden enunciar así:

I) La suma de dos números al cuadrado es igual al primero al cuadrado, más el segundo al cuadrado, más el doble del producto del primero por el segundo.

II) La diferencia de dos números al cuadrado es igual al primero al cuadrado más el segundo al cuadrado menos el doble del producto del primero por el segundo.

III) La suma de dos números por la diferencia de dos números es igual al primero al cuadrado, menos el segundo al cuadrado.

El lenguaje algebraico es flexible, y la segunda forma se les hace más entendible a los niños, aunque hay que matizar, no podemos decir:

I) La suma de a más b al cuadrado es igual a a al cuadrado, más b al cuadrado, más el doble producto de a y b.

II) La diferencia de a mas b al cuadrado es igual a a al cuadrado, más b al cuadrado, menos el doble producto de a y b.

III) La suma de a más b por a menos b es igual a a al cuadrado, menos b al cuadrado.

Porque así se entendería en:

I) a + b² = a² + b² +2 .a.b

II) a - b² = a² + b² - 2 .a.b

III) a + b.a -b = a² - b²

Yo la solución que daba es la siguiente:

I) La suma de a más b todo al cuadrado es igual a a al cuadrado, más, b al cuadrado, más el doble producto de a y b.

II) La diferencia de a mas b todo al cuadrado es igual a a al cuadrado, más b al cuadrado menos el doble producto de a y b.

III) La suma de a más b entre paréntesis, todo por a menos b todo entre paréntesis, es igual a a al cuadrado, menos b al cuadrado.

El lenguaje algebraico es mas complicado de lo que parece. Ahí tenéis para pensar

Una ECUACIÓN es diferente, por ejemplo:

2.x - 1 = 1 sólo es válida para x = 1

(X+1).(X-2) = 0 sólo es valida para X = -1 y para X = 2

Es decir solo se verifica la igualdad para algunos valores de la incógnita.

Una FÓRMULA es una expresión algebraica en la que suelen definirse magnitudes como el área de un polígono a partir de una serie de parámetros que se definen previamente, por ejemplo, para un rectángulo, o un cuadrilátero romboide o paralelogramo, se tiene:

A = a.b

donde A es el el área

en el rectángulo a y b son sus lados

y en el cuadrilátero romboide o paralelogramo a es la base y b es la altura

de ahí, por división a partir de la diagonal se puede deducir la fórmula de un triángulo cualquiera:

A = a.b/2

donde a es la base y b es la altura

Para un POLÍGONO REGULAR cualquiera se tiene que:

A = s. a

donde A es el área, s el semiperímetro¹ y a es la apotema²

Hay expresiones algebraicas que pueden contener una o más fórmulas, por ejemplo:

TEOREMA DE PITÁGORAS:

En todo triángulo rectángulo se verifica lo siguiente:

“ El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

si h es la hipotenusa y a y b son los catetos se tiene que:

h² = a² + b²

Esto también se puede enunciar así:

“ la hipotenusa al cuadrado es igual, al primer cateto al cuadrado, más, el segundo cateto al

cuadrado”.

No podemos decir, utilizando el lenguaje algebraico correcto que:

“la hipotenusa al cuadrado es igual a el primer cateto al cuadrado mas el segundo cateto al

cuadrado”³, sin el uso de la coma, porque esto se escribe y entiende de la siguiente forma:

h² = (a²+b)²

aunque por deformación lingüística o por enunciados orales se entienda de aquella forma.

El teorema de Pitágoras lleva a dos formulas, una para la hipotenusa y otra para los catetos:

Hipotenusa:

h = SQRT(a² + b²)

Catetos:

a = SQRT ( h² – b²)

b = SQRT( h² – a²)

donde SQRT es “la raiz cuadrada de”.

El lenguaje algebraico es flexible y no tan sencillo como parece.

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1 Semiperímetro: s viene dado por la suma de los lados partido por dos.

2 La apotema: a de un polígono regular es la distancia en magnitud del centro del polígono a uno

cualquiera de los lados.

3 El uso de los signos de puntuación es imprescindible en el lenguaje español y en el lenguaje algebraico, que da en el lenguaje oral las pausas para enunciar las expresiones algebraicas, tanto el uso de la , como el del punto, como el del ;, como :, . y aparte, . y seguido, . Final, etc...como demostró Camilo José Cela en su obra Oficio de Tinieblas, que intente leer de joven, y que se hace

imposible puesto que en él no hay ni un solo signo de puntuación.

Jesús-Isaias