NOCIONES
DE IGUALDAD: IDENTIDAD, ECUACIÓN O FÓRMULA.
EL LENGUAJE
ALGEBRAICO
La
noción de igualdad es algo que hay que saber apreciar. Hay muchas
igualdades pero no todas son iguales. Por ejemplo, las identidades
son igualdades que se cumplen para cualquier valor de las variables,
mientras que en una ecuación la igualdad se cumple sólo para
algunos valores de la incógnita.
Así tenemos las
IDENTIDADES
notables( las identidades realmente se suelen escribir no con el
signo = sino con tres líneas paralelas, es como añadirle una rayita
más al signo igual):
I) (a + b)2
= a2
+ b2
+2 .a.b II) (a – b)2
= a2
+ b2
- 2 .a.b III) (a +b).(a -b) = a2
– b2
Estas
identidades, que se cumplen para todos los valores de las variables a
uno y otro lado de la igualdad, se leen de varias formas, lo más
común es enunciarlos de la siguiente forma:
I) El cuadrado de una suma es suma de cuadrados mas doble
producto del primero por el
segundo.
II) El cuadrado de una diferencia es suma de cuadrados menos doble
producto de primero por el
segundo.
III) Suma por diferencia es diferencia de cuadrados.
También se pueden enunciar así:
I) La suma de dos
números al cuadrado es
igual al primero al cuadrado, más el segundo al cuadrado, más el
doble del
producto del
primero por el segundo.
II) La diferencia
de dos números al
cuadrado es igual al primero al cuadrado más el segundo al cuadrado
menos el
doble del producto
del
primero por el segundo.
III) La suma de dos números por la diferencia de dos números es
igual al primero al cuadrado, menos el segundo al cuadrado.
El
lenguaje algebraico es flexible, y la segunda forma se les hace más
entendible a los niños, aunque hay que matizar, no podemos decir:
I) La suma de a
más
b al cuadrado es
igual a a al cuadrado, más b al cuadrado,
más el doble
producto de a
y
b.
II) La diferencia
de a
mas b al cuadrado es
igual a a al cuadrado, más b al cuadrado,
menos
el doble
producto de a
y
b.
III) La suma de a
más b por a menos b es
igual a a al
cuadrado, menos b
al cuadrado.
Porque
así se entendería en:
I) a
+ b2 =
a2
+ b2
+2 .a.b
II) a - b2
= a2
+ b2
- 2 .a.b
III)
a + b.a -b = a2
- b2
Yo
la solución que daba es la siguiente:
I) La suma de a
más
b todo al
cuadrado es
igual a a al cuadrado, más, b al cuadrado,
más el doble
producto de a
y
b.
II) La diferencia
de a
mas b todo al
cuadrado es
igual a a al cuadrado, más b al cuadrado
menos
el doble
producto de a
y
b.
III) La suma de a
más b entre paréntesis,
todo por
a menos b todo
entre paréntesis, es
igual a a al
cuadrado, menos b
al cuadrado.
El
lenguaje algebraico es mas complicado de lo que parece. Ahí tenéis
para pensar
Una ECUACIÓN
es diferente, por
ejemplo:
2.x - 1 = 1 sólo
es válida para x = 1
(X+1).(X-2) = 0 sólo
es valida para X = -1 y para X = 2
Es decir solo se verifica la igualdad para algunos valores de
la incógnita.
Una FÓRMULA es una expresión algebraica en la que suelen
definirse magnitudes como el área de un polígono a partir de una
serie de parámetros que se definen previamente, por ejemplo, para un
rectángulo, o un cuadrilátero romboide o paralelogramo, se tiene:
A = a.b
donde A es el el área
en el rectángulo a y b son sus lados
y en el cuadrilátero romboide o paralelogramo a es la
base y b es la altura
de ahí, por división a partir de la diagonal se puede deducir
la fórmula de un triángulo cualquiera:
A = a.b/2
donde a es la base y b es la
altura
Para un POLÍGONO REGULAR cualquiera se tiene que:
A = s. a
donde A es el área, s el
semiperímetro1 y a es la apotema2
Hay expresiones algebraicas que pueden contener una o más fórmulas,
por ejemplo:
TEOREMA DE PITÁGORAS:
En todo triángulo rectángulo se verifica lo siguiente:
“ El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos”
si h es la hipotenusa y a y b son los catetos se tiene
que:
h2
= a2 + b2
Esto también se puede enunciar así:
“ la hipotenusa al cuadrado es igual, al primer
cateto al cuadrado, más, el segundo cateto al
cuadrado”.
No podemos decir, utilizando el lenguaje algebraico
correcto que:
“la hipotenusa al cuadrado es igual a el primer
cateto al cuadrado mas el segundo cateto al
cuadrado”3, sin el uso de la coma,
porque esto se escribe y entiende de la siguiente forma:
h2
= (a2+b)2
aunque por deformación lingüística o por
enunciados orales se entienda de aquella forma.
El teorema de Pitágoras lleva a dos formulas, una para
la hipotenusa y otra para los catetos:
Hipotenusa:
h = SQRT(a2
+ b2)
Catetos:
a = SQRT (
h2 – b2)
b = SQRT( h2
– a2)
donde SQRT
es “la raiz cuadrada de”.
El lenguaje algebraico es flexible y no tan sencillo
como parece.
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1 Semiperímetro: s viene dado por la suma de los lados partido
por dos.
2 La apotema: a de un polígono regular es la distancia en
magnitud del centro del polígono a uno
cualquiera de los lados.
3 El uso de los signos de puntuación es imprescindible en el
lenguaje español y en el lenguaje algebraico, que da en el lenguaje
oral las pausas para enunciar las expresiones algebraicas, tanto el
uso de la , como el del punto, como el del ;, como :, . y aparte, . y
seguido, . Final, etc...como demostró Camilo José Cela en su obra
Oficio de Tinieblas, que intente leer de joven, y que se hace
imposible puesto que en él no hay ni un solo signo de puntuación.
Jesús-Isaias
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