FRACTALES

Para acercarnos un poco a los fractales habría que decir de donde viene el nombre de fractal: viene de objetos o entes geométricos, espacios geométricos, que pueden tener una dimensión que sea una parte (o fracción para entendernos) de las habituales. Estamos acostumbrados a los espacios geométricos habituales: la recta, de dimensión 1, el plano, de dimensión 2 y el espacio, de dimensión 3. Pues pueden darse espacios geométricos que tengan por ejemplo dimensión ½.

El conjunto de puntos que se obtiene al dividir un segmento en cuatro partes y quedarse con dos (por ejemplo las de los extremos), repitiendo este proceso con cada una de las partes con que nos vamos quedando, hasta el infinito, tiene dimensión ½:

Tratando análogamente un segmento a como se ha hecho con el anterior, pero dividiéndolo en tres partes y quedándonos con dos, y repitiendo el proceso hasta el infinito con los segmentos que van quedando, se obtiene un conjunto de puntos al que se llama conjunto de Cantor, y que tiene dimensión log2/log3, aproximadamente 0,63.

Estas dimensines se denominan dimensiones fractales de Hausdorff, pues fue este matemático el que aportó un método para determinarlas.

A los conjuntos anteriores se les llama autosemejantes, y son entes u objetos geométricos cuya estructura se repite, en gran medida, a diferentes escalas, hasta el infinito. Sirven para modelar muchos aspectos de la realidad.

Un fractal muy interesante es el conocido como la curva de Koch. Es una figura que se repite a si misma infinitas veces a diferentes escalas. Se obtiene dividiendo un segmento en tres partes, quedándose con los extremos y construyendo sobre la que hemos eliminado dos lados de un triángulo equilátero (en el centro) que midan la tercera parte del segmento. Se repite este proceso con cada una de las partes que se van obteniendo, hasta el infinito. El fractal que se obtiene tiene dimensión log4/log3, aproximadamente 1,26.

La medida ordinaria de fractales como los anteriores es nula o infinita. Sin embargo la medida de los fractales hay que hacerla en su dimensión. Medidos en su dimensión estos fractales de que hablamos tienen medida finita no nula.

Tomemos el segmento unidad para realizar los cálculos.

La medida ordinaria del conjunto de dimensión ½ sería nula ya que contando el conjunto :

2ⁿ .(1/4ⁿ ) = 1/2ⁿ   que tiende a cero cuando n tiende a infinito

Si tenemos en cuenta que el conjunto tiene dimensión fractal ½ se tendría que la medida del conjunto sería:

2ⁿ .(1/4ⁿ )^1/2 = 1ⁿ =1

Igual ocurre con la curva de Koch:
Tomando el segmento unidad, la medida ordinaria de este conjunto conduce a:

4ⁿ .(1/3ⁿ ) = (4/3)ⁿ  que tiende a infinito cuando n tiende a infinito             

Si llamamos s a la dimensión de este conjunto se tiene que:

4ⁿ .(1/3ⁿ )^s =1ⁿ = 1 si s = log4/log3

Este fractal sirve para modelar aspectos físicos de la realidad, como las fronteras. Por ejemplo, la costa de Gran Bretaña se ha estimado empíricamente como un fractal de dimensión 1,3 muy parecida a la dimensión de la curva de Koch. Todavía la frontera entre España y Portugal lleva a una dimensión más cercana a la de esta curva. La costa de Noruega, un poco mas complicada que la de Gran Bretaña , lleva a un fractal de dimensión 1,5.

Otro fractal interesante es el conocido como curva de Hilbert. Se obtiene a partir de un cuadrado: se divide éste en cuatro cuadrados y los centros de los cuadrados se unen mediante una poligonal. Luego cada cuadrado se divide en otros cuatro y se vuelven a unir los centros mediante otra poligonal. Se repite este proceso hasta el infinito. El resultado es la curva de Hilbert. Esta curva recubre completamente el cuadrado. Es un fractal de dimensión 2.

Con esta curva, tomando segmentos unidad, se obtiene llamando s a la dimensión del objeto, la medida:

(4ⁿ -1).(1/2ⁿ )^s que cuando n tiende a infinito tiende a  4ⁿ .(1/2ⁿ )^s

       y      4ⁿ .(1/2ⁿ )^s = 1ⁿ =1  si s = 2                   

Este fractal sirve para modelar aspectos físicos de la realidad, lo que se llaman árboles. Entre estos podemos encontrar por ejemplo un río o la red arterial de una persona. Un rio, junto con sus afluentes, arroyos, y todas las confluencias de agua que se dan en el mismo puede ser modelado mediante un fractal parecido a la curva de Hilbert. Con la red de arterias ocurre algo parecido.

A propósito de dimensiones las que conocemos habitualmente son las tres espaciales y la que podemos considerar la temporal, la última se puede apreciar en el cine 4D que hay en Isla Mágica. 4D significa precisamente esto, en cuatro dimensiones. Para hacernos una idea de en lo que quiere significarse la proyección que se hace en este cine, podéis fijaros en el siguiente esquema, donde t significa tiempo:

La proyección va sumergiéndonos en las tres dimensiones espaciales y en la temporal, pudiendo apreciarlas conjuntamente, y por separado si nos fijamos en cada una de ellas individualmente.

Nota:

Para ver con claridad cual es la dimensión fractal de un cuadrado pensemos en como recubrirlo completamente. El proceso consiste en ir dividiendo el cuadrado en otros cuadrados: primero en cuatro cuadrados, e ir uniendo sus centros mediante una poligonal sencilla cuadrada, luego dividimos el cuadrado original en dieciséis cuadrados, y unimos los centros mediante dos poligonales sencillas cuadradas, y así sucesivamente, hasta el infinito.

Se tiene entonces que contando, si llamamos s a la dimensión del cuadrado se tendría:

  4ⁿ .(1/2ⁿ )^s = 1ⁿ =1    si   s = 2

Ejemplos de fractales en la naturaleza:

Jesús Ocaña